Congruencias no lineales 3. Leyes de reciprocidad para potencias mayores de dos. Pseudoprimos de Euler. Test de Proth. Test de Lucas-Lehmer.
Criptosistema Elgamal. Firma digital con Elgamal. Teorema de Dirichlet y consecuencias. Un criterio de irracionalidad. Teorema de Liouville y consecuencias 4. El teorema y sus consecuencias. Un criterio de trascendencia. Refinamientos del teorema de Liouville. El correspondiente criterio de trascendencia.
Fracciones de Brocot. Teorema de Hurwitz. La mejor constante. La constante de Lagrange de un irracional. Cubrimientos de la recta real. Fracciones continuas 5. Pares de sucesiones recurrentes. Fracciones continuas simples. Fracciones continuas simples finitas. Convergencia de fracciones continuas simples. La estructura del periodo. Irracionalidad y trascendencia 6.
Algunos resultados sobre irracionalidad. Irracionalidad de e. Algunas adaptaciones y generalizaciones. Trascendencia de e. Algunas consecuencias sencillas, pero importantes.
Otros resultados sobre trascendencia. Problemas abiertos. Sucesiones alicuatorias. Funciones multiplicativas. Inversas de funciones completamente multiplicativas. Orden medio de las funciones divisor. Orden medio de la indicatriz de Euler. Series de Dirichlet. Una cota no muy fina. Las funciones de Chebyshev. Productos de Euler. La identidad de Euler aplicada a las series de Dirichlet Teorema de Chebyshev. Cinco lemas y el teorema. Postulado de Bertrand. Distancias entre primos. Funciones generadoras de primos.
Sumas de logaritmos de primos. Un teorema tauberiano. Las aproximaciones que propuso Riemann. Trabajo preparatorio. Aplicaciones entre conjuntos. Los axiomas de Peano. Cortaduras de Dedekind. Cuaterniones y octoniones. Soluciones Soluciones a los ejercicios del tema 1.
Soluciones a los ejercicios del tema 9. Otro objetivo que se ha perseguido al escribir este libro ha sido darle una RR. Eso hace que algunos conceptos aparezcan repetidos: se ha hecho conscientemente; es el precio que hay que pagar para conseguir temas autocontenidos. Se incluyen bastantes ejercicios, todos ellos resueltos. No todos los temas tienen el mismo nivel.
Merece la pena detenerse en ello siempre que sea posible. La estructura del libro es como sigue. Los contenidos de estos tres bloques son totalmente independientes unos de RR. Baste destacar que cuatro de los trece libros de los Elementos de Euclides [41] que fueron escritos a principios del siglo iii a. Prefacio xi. R y —aparentemente— muy alejadas de lo que se persigue. Pero nadie hasta ahora ha logrado probarla o refutarla.
Y lo mismo ocurre con otros temas que ni siquiera hemos mencionado. No se trata de confiar ciega- RR. Sobre todo pensando en estos lectores, al prin- cipio de cada tema citamos siempre varios textos con contenidos relacionados. En todo caso, consideramos que pueden ser un buen punto de partida para quien quiera seguir estudiando. Con eso se puede seguir casi todo el libro sin excesiva dificultad.
R entero menor o igual que x. Eso ha hecho que hayamos decidido usar bxc. En suma, el que esto escribe no ha ahorrado esfuerzos para intentar con- seguir que este libro sea suficientemente atractivo y asequible. Estudiaremos todo lo que concierne a la divisibilidad con cierta profundidad, BO. Supongamos que estamos interesados en cierta propiedad que denominamos S, y que cada entero k puede satisfacer o no S. Por simplicidad BO. Divisibilidad 3. Este tema comienza con el estudio de la divisibilidad y sus propiedades.
R posicional. Si d no divide a a escribimos d - a. En otro caso, dado que. Divisibilidad 5. Los restos rj son no negativos y cada vez menores.
Nota 1. De ella vamos a ver dos demostraciones. Teorema 1. Y, como d divide a los dos sumandos de esta igualdad, se sigue que d b. DO define mcd a1 , a2 ,. Sean a1 , a2 ,. No obstante su sencillez, lo exponemos con cuidado para poder llevar a cabo un desarrollo riguroso del tema. Lema 1. Cada entero mayor que 1 tiene un divisor primo.
Supongamos que no es cierto. Como n n y n no tiene divisores primos, n no puede A ser primo. Tomemos ahora. R DO Cuadro 1. A Este N no ninguno de los pj es mayor que todos ellos , luego no puede ser primo. Entonces, el lema 1. De este modo, hemos encontrado RR. Citaremos un par de ellas. En este libro lo veremos en el tema 9 teorema 9. Si p primo y p ab, entonces p a o p b. Incluso en dominios de integridad, lo contrario puede no ser cierto. Entonces, si p1 , p2 ,. Asimismo, deseamos adelantar algunas consecuencias que luego desarrollare-.
El algoritmo de Euclides no tiene tal problema. Veamos primero que RR. Si n es primo, no hay nada que probar. Debemos probar que si tenemos dos descomposiciones en factores primos BO. Sean a y b enteros positivos con. Entonces, Y mcd a1 , a2 ,. Bases Su autor fue Al-Jwarismi o Al-Khwarizmi ca. Del nombre de Al-Khwarizmi derivan las palabras «algoritmo» y «guarismo». R Figura 1. Silvestre II. Lo que al inicio del Renacimiento vino a decantar la victoria del lado de los «algoristas» frente a los «abacistas» fue el desarrollo del comercio durante la baja Edad Media.
Y, de hecho, los ordenadores actuales no usan internamente la base 10, sino que funcionan en base 2. Tras estos comentarios, vamos ya con la prueba del teorema. Analicemos ahora r. En ese caso,. A Nota 1. Esto es lo que se denomina un criterio de divisibilidad por q. De este modo, reduciremos la divisibilidad de N por q a la divisibilidad por q 4 Aunque, para ser honestos, desde que se popularizaron las calculadoras —e incluso los.
En estas circunstancias, q N si y 0. De este modo se pueden obtener adaptaciones del lema 1. E incluso combinar ambas ideas ejercicio 1. De este modo, un criterio de divisibilidad muy general es el siguiente: BO.
Combinatoria Continuando de esta forma tendremos que. Veamos unos cuantos casos particulares de este resultado: Ejemplo. Para calcularlo, formemos los grupos de k RR. Y, en general,. Prosiguiendo de igual modo,. Por tanto,. En consecuencia, las permutaciones de n elementos son las aplicaciones biyectivas de un conjunto de n elementos en BO. Hay, pues, n! Usaremos Pna1 ,a2 , DO obtiene dividiendo por Pa2.
Pna1 ,a2 , Para evaluar Cnk notemos primero que, forzosamente, k y n deben ser enteros no negativos. Dados n y k enteros positivos, supongamos. R que hemos logrado obtener todas las combinaciones de n elementos tomados de k en k.
Cada una de estas combinaciones —hay Cnk de ellas— es un grupito de k elementos. Si consideramos que 0! Partamos de un conjunto de n elementos. Entonces, las combinaciones de n elementos tomados de k en k son todos los posibles subconjuntos de k elementos que se pueden obtener. Puede demostrarse que. Coeficientes binomiales y binomio de Newton Estas derivadas parciales se expresan mediante. Este hecho se asume habitualmente. El desarrollo del ahora denominado «binomio de Newton» era bien conocido antes de que Sir Isaac Newton viviera.
Pero no nos resistimos a mostrar alguna. Existe una forma alternativa de probar la identidad de Chu-. Lo habitual es colocar los nk n n. De este modo, lo que se va obteniendo es BO. R A DO Figura 1. Si el RR. De todo esto se deduce su edad. Para muchos tipos de ecuaciones, no se conoce la respuesta.
En ese caso, y tal como se puede ver en la figura 1. Comencemos suponiendo que d - c. Demos pues por hecho que d c. Como en el teorema 1. Pero, por el lema 1. Como consecuencia del teorema, es claro que se cumple lo siguiente: Corolario 1. Supongamos que enviar una carta por correo para un. Pero este requisito adicional no es banal, y complica extraordinariamente lo que se puede decir sobre la existencia o no de soluciones.
Por el teorema 1. Sigamos suponiendo que tenemos a1 , a2 ,. Del teorema anterior se deduce que, para c sufi- RR. El teorema 1. Determinar g a1 , a2 ,. El problema de Frobenius es un problema abierto de considerable dificul- tad.
DO Teorema 1. En la figura 1. Mediante tanteo es sencillo encontrar soluciones particulares, como 3, 4, 5. Pero nos preguntamos si podemos idear un algoritmo para obtener todas. R DO Figura 1. Diofanto siglo iii d. Con las precisiones que luego veremos teorema 1. DO mente. Estos dos hechos demuestran que podemos limitarnos a encontrar RR.
Por BO. Veamos que tal terna es primitiva. Sumando las dos igualdades. Ahora, tomando. R que son dos descomposiciones esencialmente distintas. Lander y Thomas R. R Noam D.
Elkies — John Pell — DO sextas o superiores. Simplemente esperamos que el lector se haya hecho una idea de la inmensidad del campo que ahora abandonamos. Ejercicio 1. Sean a y b dos enteros no nulos. Prueba que n tiene un divisor primo menor o igual que n. Sea k un entero positivo. Demuestra que la suma de los cubos de tres enteros consecu- tivos cualesquiera es divisible por 9.
Ejercicio Pn 1. Sean a, b, n y m enteros positivos. Sean a, b y c tres enteros no nulos. Sean a y b dos enteros. Sea p un primo y a, b enteros positivos. Prueba el lema 1. Ejercicios del tema 1 Comprueba que RR. Demuestra las siguientes propiedades: a El producto de las longitudes de los dos catetos es divisible por R Ejercicio 1. DO Ejercicio 1. En ese contexto, lo RR. Algunas veces, permite resolverlos completamente. Otras, se trata de proble- BO. Para entender lo que ocurre —y eso es lo que nosotros perseguimos— no hace falta un ordena- dor.
Definiciones y primeras propiedades R cardinal de Zm es m. Se denomina representante a un elemento de esa clase. Si elegimos un representante de cada clase de equivalencia, decimos que. En Zm hay estructura aditiva y multiplicativa. Tanto la suma como el pro- ducto son meras herencias de las de Z.
Respecto a la suma, el elemento neutro es b b que es la misma clase ; y, respecto al producto, b 0 o m, 1. Ley de Reciprocidad.. Suma de dos cuadrados. Fracciones continuas simples 97 Sricesiones Recurrentes Funciones generatrices En general, las primeras letras del alfabeto a, b, e, En general, todo conjunto que posee tal propiedad se dice bien ordenado.
Por otra parte, sea A un subconjunto infinito de N y n un elemento de A. De lo anterior se puede concluir que en N se cumple el principio del buen orden. Se sigue que. Los detalles se dejan al lector ver problema 1. Mostrar que 2n! Problema 2. Consideremos las casillas O, 1, 2, Dividamos este intervalo en kn - 1 intervalos de longitud ;n-.!
Por lo tanto,. Problemas Propuestos 2. Demostrar que para. Demostrar que existen dos permutaciones x y y tales que f x - J y es divisible por m!. Demostrar que existen tl. Algunas propiedades importantes de la divisibilidad son:. Estudiemos algunos problemas cuyas soluciones dependen de propiedades de la divisibilidad.
Aplicando de nuevo la propiedad d tenemos que 11 l - -1 15 -1 3 , es decir, 11 l 20 15 - l. Note que si a 1b entonces! Ahora, si tenemos dos enteros a y b, cada uno de ellos tiene asociado un conjunto, 'Da y Vb, respectivamente. Teorema 3. Calcular dn para todo n. Problema 3. En el caso e. Concluimos que en general,. Por otra parte tenemos que. Como m :2'. Problemas Propuestos 3. El siguiente teorema caracteriza todo entero mayor que 1 por medio de primos..
De hecho, la cantidad de primos es infinita. Observemos que este mismo procedimiento sirve para mostrar que existen infinitos primos de la forma 4k - l. De hecho, si fueran finitos los primos de esta forma, digamos, q1 , Suponga que bm - 1 y bn - 1 tienen los mismo divisores primos. Las demostraciones de las propiedades a a g se dejan al lector.
Teorema 4. Usando la propiedad d , se suman todas estas relaciones y se obtiene el resultado. Corolario 4. Entonces a-b 1 P a -P b. Dado que el concepto de congruencia y el de divisibilidad tienen las mis- mas propiedades, es claro que lo que se puede mostrar de una forma, se puede mostrar de la otra.
Problema 4. Para esto observemos que. Por ejemplo, los conjuntos. Multiplicando todas estas parejas, obtenemos que p - 2! De lq. Del teorema de Wilson tenemos que p - 1!
En particular r 1cp m. Es decir, r 1 k y, en particular, por el teorema de Euler, r 1 cp m. Por lo tanto, tenemos que n 1 cp an - 1. Pero como p es el menor divisor primo de n, entonces los divisores primos de p - 1 son menores que los divisores primos de n. Por lo tanto, no existe tal n. Ahora, veamos que el teorema de Wilson produce resultados interesantes sobre los coeficientes binomiales.
Demostrar que p- 1! Demostrar que 4mn - m - n nunca puede ser el cuadrad. Demostrar que exis- -. Mostremos otros criterios de divisibilidad. De esta forma podemos crear criterios de divisibilidad por 27 y 37, que dividen a - l. De igual forma determinar todos los n taies que 2n- 2 Jn!
Teorema 5. D Para ejemplificar el uso del teorema chino del residuo consideremos los siguientes problemas:.
Problema 5. Lema 5. Sabemos que a- b 1 P a -P b. Problemas Propuestos 5. Mostrar que existen infinitos x tales que no satisfacen ninguna de las congruencias. Mostremos algunas funciones que son multiplicativas. Teorema 6. D Observemos que para calcular r. Problema 6. Observemos que. Se tiene que. Entonces para todo n entero positivo,.
Veamos primero que. Es conocido Mangoldt, que si m tiende a infinito, la anterior suma tiende a O. Demostrar que. De- mostrar que n posee al menos cuatro factores primos distintos. Decimos que un entero m;? A partir de esto se puede ver que. Lema 7. Sean b1 , Para esto consideremos los siguientes casos:. Teorema 7. Multiplicando estas expresiones y usando la identidad, obtenemos lo que. Mostrar que el conjunto.
Veamos algunas propiedades de este conjunto. Problemas Propuestos 7. Si p es primo itnpar y. Sea q el mayor entero menor que Jm. Tenemos que su diferencia a x 1 - x2 - Y1 - Y2 es divisible por m. Ahora bien, como. D Retomando nuestro problema inicial, si pes un primo, por el teorema de Wilson sabemos que.
Luego bes par y e es impar. Problema 8. Concluimos que. Observemos que al menos dos entre x, y, z tienen que ser pares. Reemplazando tenemos que. This book really gives you good thought that will very influence for the readers future.
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